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在△ABC中,∠BAC=2∠ACB,D是⊿ABC内一点,且有AD=CD,BD=BA,探究∠DBC的度数和∠ABC的度数之比求图
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作BM‖AC,并使∠MCA=∠BAC
∵∠BAC≠90° ∴∠MCA+∠BAC≠180° ∴AB不平行于CM
又∵BM‖AC,且∠MCA=∠BAC ∴四边形MCAB是等腰梯形 ∴AB=CM
∵AD=CD ∴∠DCA=∠DAC
又∵∠MCA=∠BAC ∴∠MCA-∠DCA=∠BAC-∠DAC 即 ∠MCD=∠BAD
∴△MCD≌△BAD ∴MD=BD
又∵BD=BA,BA=MC ∴MD=BD=BA=MC
∵∠MCA=∠BAC,∠BAC=2∠ACB ∴∠MCA=2∠ACB ∴∠MCB=∠ACB
∵BM‖AC ∴∠ACB=∠MBC ∴∠MCB=∠MBC ∴MC=MB ∴MB=MD=BD
∴△MDB为等边三角形 ∴∠MBD=60 ∴∠BCA=∠MBC=∠MBD-∠CBD=60°-∠CBD
∵∠BAC=2∠ACB=2(60°-∠CBD)=120°-2∠CBD
∵在△ABC中,∠BCA+∠BAC+∠ABC=180°
∴(60°-∠CBD)+(120°-2∠CBD)+(∠CBD+∠ABD)=180°∴∠ABD=2∠CBD
∴∠DBC:∠ABC=∠DBC:(∠ABD+∠DBC)=∠DBC:3∠DBC=1:3
∵∠BAC≠90° ∴∠MCA+∠BAC≠180° ∴AB不平行于CM
又∵BM‖AC,且∠MCA=∠BAC ∴四边形MCAB是等腰梯形 ∴AB=CM
∵AD=CD ∴∠DCA=∠DAC
又∵∠MCA=∠BAC ∴∠MCA-∠DCA=∠BAC-∠DAC 即 ∠MCD=∠BAD
∴△MCD≌△BAD ∴MD=BD
又∵BD=BA,BA=MC ∴MD=BD=BA=MC
∵∠MCA=∠BAC,∠BAC=2∠ACB ∴∠MCA=2∠ACB ∴∠MCB=∠ACB
∵BM‖AC ∴∠ACB=∠MBC ∴∠MCB=∠MBC ∴MC=MB ∴MB=MD=BD
∴△MDB为等边三角形 ∴∠MBD=60 ∴∠BCA=∠MBC=∠MBD-∠CBD=60°-∠CBD
∵∠BAC=2∠ACB=2(60°-∠CBD)=120°-2∠CBD
∵在△ABC中,∠BCA+∠BAC+∠ABC=180°
∴(60°-∠CBD)+(120°-2∠CBD)+(∠CBD+∠ABD)=180°∴∠ABD=2∠CBD
∴∠DBC:∠ABC=∠DBC:(∠ABD+∠DBC)=∠DBC:3∠DBC=1:3
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