这个等价无穷小为什么(1+x^2)^（1/3）-1等价于（1/3）x^2其中x趋向于0

Question

这个等价无穷小为什么
(1+x^2)^（1/3 ） - 1 等价于 （1/3 ）x^2
其中x趋向于0

Answer 1

lim[x →0][(1+x^2)^（1/3 )-1]/[(1/3)x^2)
=lim[x →0][(1+x^2)^(1/3)-1][(1+x^2)^(2/3)+(x^1+1)^(1/3)+1]/{[(1/3)x^2]]*[(1+x^2)^(2/3)+(x^1+1)^(1/3)+1]
=lim[x →0][1+x^2-1]{[(1/3)x^2[(x^2+1)^(2/3)+(x^2+1)^(1/3)+1}
=lim[x →0] 3/[x^2+1)^(2/3)+(x^2+1)^(1/3)+1]
=3/(1+1+1)
=1,
故为等价无穷小.
也可以用罗彼塔法则,分子、分母同时求导.
这里用到立方差公式,（a^3-b^3)=(a-b)*(a^2+ab+b^2),分子、分母同时乘以（1+x^2)^(2/3)+(1+x^2)^(1/3)+1.