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已知球O是正三棱锥(底面为正三角形,顶点在底面的射影为底面中心)A-BCD的外接球,BC=3,AB=23,点E在线段BD上,且BD=3BE,过点E作球O的截面,则所得截面圆
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已知球O是正三棱锥(底面为正三角形,顶点在底面的射影为底面中心)A-BCD的外接球,BC=3,AB=2
,点E在线段BD上,且BD=3BE,过点E作球O的截面,则所得截面圆面积的取值范围是___.
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▼优质解答
答案和解析
如图,设△BDC的中心为O1,球O的半径为R,
连接oO1D,OD,O1E,OE,
则O1D=3sin600×
=
,AO1=
=3,
在Rt△OO1D中,R2=3+(3-R)2,解得R=2,
∵BD=3BE,∴DE=2
在△DEO1中,O1E=
=1
∴OE=
=
过点E作圆O的截面,当截面与OE垂直时,截面的面积最小,
此时截面圆的半径为
=
,最小面积为2π.
当截面过球心时,截面面积最大,最大面积为4π.
故答案为[2π,4π]
连接oO1D,OD,O1E,OE,
则O1D=3sin600×
2 |
3 |
3 |
AD2-DO12 |
在Rt△OO1D中,R2=3+(3-R)2,解得R=2,
∵BD=3BE,∴DE=2
在△DEO1中,O1E=
3+4-2×
|
∴OE=
O1E2+OO12 |
2 |
过点E作圆O的截面,当截面与OE垂直时,截面的面积最小,
此时截面圆的半径为
22-(
|
2 |
当截面过球心时,截面面积最大,最大面积为4π.
故答案为[2π,4π]

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