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对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O,给出如下的定义:若⊙O上存在两个点A、B,使得∠APB=60°,则称P为⊙O的关联点.已知点D(12,12),E(0,-2),F(23,0).(1)当⊙O的半径为1时,①
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f636afc379310a55abcf3440b44543a98326109e.jpg)
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(1)当⊙O的半径为1时,①在点D、E、F这三个点中,⊙O的关联点是______.②过点F作直线l交y轴正半轴于点G,使∠GFO=30°,若直线l上的点P(m,n)是⊙O的关联点,求m的取值范围;
(2)若线段EF上的所有点都是⊙O的关联点,求⊙O的半径r的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题可知:若点P刚好是⊙O的关联点,则点P到⊙O的两条切线PA与PB之间的夹角为60°,如图1,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/1e30e924b899a901427962841e950a7b0208f537.jpg)
∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B,
∴∠OAP=∠OBP=90°,∠APO=∠BPO=
∠APB=30°.
∴OP=2OA.
设⊙O的半径为r,则点P刚好是⊙O的关联点时OP=2r.
所以若点P是⊙O的关联点,则需点P到圆心O的距离d满足0≤d≤2r.
①过点D作DC⊥x轴,垂足为C,连接OD,如图2,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f3d3572c11dfa9ec90626fa561d0f703918fc137.jpg)
∵点D(
,
),
∴OC=DC=
.
∴OD=
.
∵0<OD<2,OE=2,OF>2,
∴点D、点E是⊙O的关联点,点F不是⊙O的关联点.
故答案为D、E.
②过点O作OH⊥GF,垂足为H,如图3,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/908fa0ec08fa513d04e6556c3e6d55fbb2fbd937.jpg)
则有OH=
OF=
.
当点P刚好是⊙O的关联点时,OP=2.
∵OH<OP,
∴点P刚好是⊙O的关联点的位置有两个,记为P1、P2.
在Rt△GOF中,tan∠GFO=
=
=
,
解得:OG=2.
所以点P1与点G重合,此时m=0.
过点P2作P2M⊥x轴,垂足为M,
∵∠OGF=90°-30°=60°,OP1=OP2,
∴∠OP2P1=∠OP1P2=∠OGP2=60°.
∴∠P2OF=30°.
∴cos∠P2OM=
=
=<
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/1e30e924b899a901427962841e950a7b0208f537.jpg)
∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B,
∴∠OAP=∠OBP=90°,∠APO=∠BPO=
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∴OP=2OA.
设⊙O的半径为r,则点P刚好是⊙O的关联点时OP=2r.
所以若点P是⊙O的关联点,则需点P到圆心O的距离d满足0≤d≤2r.
①过点D作DC⊥x轴,垂足为C,连接OD,如图2,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f3d3572c11dfa9ec90626fa561d0f703918fc137.jpg)
∵点D(
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∴OC=DC=
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∴OD=
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∵0<OD<2,OE=2,OF>2,
∴点D、点E是⊙O的关联点,点F不是⊙O的关联点.
故答案为D、E.
②过点O作OH⊥GF,垂足为H,如图3,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/908fa0ec08fa513d04e6556c3e6d55fbb2fbd937.jpg)
则有OH=
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当点P刚好是⊙O的关联点时,OP=2.
∵OH<OP,
∴点P刚好是⊙O的关联点的位置有两个,记为P1、P2.
在Rt△GOF中,tan∠GFO=
OG |
OF |
OG | ||
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解得:OG=2.
所以点P1与点G重合,此时m=0.
过点P2作P2M⊥x轴,垂足为M,
∵∠OGF=90°-30°=60°,OP1=OP2,
∴∠OP2P1=∠OP1P2=∠OGP2=60°.
∴∠P2OF=30°.
∴cos∠P2OM=
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OP2 |
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