（理）已知函数f（x）=αx3+bx2+cx+d（a、b、c、d∈R）为奇函数，且在f′（x）min=-1（x∈R），limx→0f(3+x)−f(3)x＝8．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若函数f（x）的图象与函数m（x）=nx2-2x的图

Question

（理）已知函数f（x）=αx³+bx²+cx+d（a、b、c、d∈R）为奇函数，且在f′（x）_min=-1（x∈R），

lim

x→0

(f(3+x)−f(3))/(x)＝8．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若函数f（x）的图象与函数m（x）=nx²-2x的图象有三个不同的交点，且都在y轴的右方，求实数n的取值范围；
（3）若g（x）与f（x）的表达式相同，是否存在区间[a，b]，使得函数g（x）的定义域和值域都是[a，b]，若存在，求出满足条件的一个区间[a，b]；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）f（x）=ax³+bx²+cx+d（a、b、c、d∈R）为奇函数⇔f（-x）=-f（x）恒成立⇔b=d=0，f'（x）=3ax²+c，
由

lim

x→0

(f(3+x)−f(3))/(x)＝8，知f'（3）=8；又f'（x）_min=-1（x∈R），
∴c=-1，f′(3)＝27a−1＝8⇔a＝(1)/(3)，
∴f(x)＝(1)/(3)x3−x．
（2）由题意方程(1)/(3)x3−x=nx²-2x即x（x²-3nx+3）=0有三个不同的非负根，即x²-3nx+3=0有两个不同的正根，
∴

n＞0

△＝9n2−12＞0

⇔n＞(2√(3))/(3)．
（3）假设存在，由

y＝(1)/(3)x3−x

y＝x

得x=0或x=±√(6)．
令f'（x）=x²-1=0得x=±1，当x∈[−√(6)，−1)或x∈(1，√(6)]时f'（x）＞0；
当x∈（-1，1）时f'（x）＜0．
∴函数f（x）在x∈[−√(6)，−1)，(1，√(6)]上单调递增，在x∈（-1，1）上单调递减．
∴f（x）在[−√(6)，√(6)]上的极大值和极小值分别为f(−1)＝(2)/(3)，f(1)＝−(2)/(3)，而−√(6)＜−(2)/(3)＜(2)/(3)＜√(6)．
所以存在满足条件的区间[α，β]，如x∈[−√(6)，√(6)]，y∈[−√(6)，√(6)]．