设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，若x1是虚数，x21x2是实数，则S=1+

Question

设x₁，x₂是实系数一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根，若x₁是虚数， (x21)/(x2)是实数，则S=1+ (x1)/(x2)+( (x1)/(x2))2+( (x1)/(x2))4+( (x1)/(x2))8+( (x1)/(x2))16+( (x1)/(x2))32=___．

Answer 1

设x₁=s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x₂=s-ti．
则x₁+x₂=2s，x₁x₂=s²+t²．
∵(x21)/(x2)=((s+ti)2)/(s-ti)=(s3-3st2)/(s2+t2)+(3s2t-t3)/(s2+t2)i是实数，
∴3s²t-t³=0，
∴3s²=t²．
∴x₁+x₂=2s，x₁x₂=s²+t²．
∴4s²=(x1+x2)2=

x

2 1

+

x

2 2

+2x₁x₂=x₁x₂，
∴((x1)/(x2))2+(x1)/(x2)+1=0，
取(x1)/(x2)=ω，
则ω²+ω+1=0，
∴ω³=1．
则S=1+(x1)/(x2)+((x1)/(x2))2+((x1)/(x2))4+((x1)/(x2))8+((x1)/(x2))16+((x1)/(x2))32=1+ω+ω²+ω⁴+ω⁸+ω¹⁶+ω³²
=0+ω+ω²+ω+ω²
=-2．
故答案为：-2．