n2（n≥4）个正数排成如右表所示的n行n列：a11，a12，a13，…，a1na21，a22，a23，…，a2n…，…，…，……an1，an2，an3，…，ann，其中第一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，

Question

n²（n≥4）个正数排成如右表所示的n行n列：

a11，a12，a13，…，a1n

a21，a22，a23，…，a2n

…，…，…，…

…

an1，an2，an3，…，ann

，其中第一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均相等．若已知a42＝(1)/(4)，a43＝(3)/(8)，a24＝2，则a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn=

4−(4+2n)/(2n)

4−(4+2n)/(2n)

．

Answer 1

设a₁₁=a，第一行数的公差为d，第一列数的公比为q，可得a_st=[a+（t-1）d]q^s-1，第四行数列公差是dq³，
于是可得 a₂₄=（a₁₁+3d）q=2，a₄₂=（a₁₁+d）q³=(1)/(4)，a₄₃=a₄₂+dq³=(3)/(8)，解得a₁₁=d=1，q=(1)/(2)，
于是对任意的1≤k≤n，有a_kk=a_1kq^k-1=[a₁₁+（k-1）d]q^k-1=(k)/(2k−1)
∴S=(1)/(20)+(2)/(21)+…+(n)/(2n−1)
又(1)/(2)S=(1)/(21)+(2)/(22)+…+(n)/(2n)
两式相减后得：(1)/(2)S=1+(1)/(21)+…+(1)/(2n−1)-(n)/(2n)
∴S=4−(4+2n)/(2n)．