已知定义在R上的函数f(x)＝2x+a2x，a为常数．（1）如果f（x）满足f（-x）=f（x），求a的值；（2）当f（x）满足（1）时，用单调性定义判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并猜想f（x）在（-∞，

Question

已知定义在R上的函数f(x)＝2x+(a)/(2x)，a为常数．
（1）如果f（x）满足f（-x）=f（x），求a的值；
（2）当f（x）满足（1）时，用单调性定义判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并猜想f（x）在（-∞，0）上的单调性（不必证明）

Answer 1

（1）∵函数f(x)=2x+(a)/(2x)，f（-x）=f（x），
∴f（-x）=2-x+(a)/(2-x)=2x+(a)/(2x)，
整理得（a-1）（2^x-2^-x）=0
即a-1=0，解得a=1．
（2）∵a=1，∴f(x)=2x+(a)/(2x)=2x+(1)/(2x)．
设0≤x₁<x₂，
f(x1)-f(x2)=2x1+(1)/(2x1)-2x2-(1)/(2x2)=2x1-2x2+(2x2-2x1)/(2x12x2)
=(2x1-2x2)(1-(1)/(2x12x2))=(2x1-2x2)(2x1⋅2x2-1)/(2x1⋅2x2)，
∵0≤x₁<x₂，
∴x₁-x₂<0，2x1⋅2x2-1>0，
∴f（x₁）-f（x₂）<0，即f（x₁）<f（x₂）．
∴f（x）在[0，+∞）上的单调递增．
由（1）知函数f（x）为偶函数，
∴f（x）在（-∞，0）上的单调性递减．