已知点P是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）左支上一点，F1、F2是双曲线的左、右两个焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是（

Question

已知点P是双曲线C：

(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a>0，b>0）左支上一点，F₁、F₂是双曲线的左、右两个焦点，且PF₁⊥PF₂，PF₂与两条渐近线相交M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF₂，则双曲线的离心率是（　　）

A.

√(2)

B.

√(3)

C. 2

D.

√(5)

Answer 1

在三角形F₁F₂P中，点N恰好平分线段PF₂，点O恰好平分线段F₁F₂，
∴ON∥PF₁，又ON的斜率为(b)/(a)，
∴tan∠PF₁F₂=(b)/(a)，
在三角形F₁F₂P中，设PF₂=bt．PF₁=at，
根据双曲线的定义可知|PF₂|-|PF₁|=2a，∴bt-at=2a，
在直角三角形F₁F₂P中，|PF₂|²+|PF₁|²=4c²，∴b²t²+a²t²=4c²，
又c²=a²+b²，则t=2a，
即b=2a，
∴双曲线的离心率是(c)/(a)=(√(a2+b2))/(a)=√(5)，
故选D．