设连续型随机变量X的密度函数为：φ（x）=12x，0≤x≤20，其它，求：（1）P{|2X-1|＜2}；（2）Y=X2的密度函数φY（y）；（3）E（2X-1）．

Question

设连续型随机变量X的密度函数为：φ（x）=

(1)/(2)x，0≤x≤2

0，其它

，求：
（1）P{|2X-1|＜2}；
（2）Y=X²的密度函数φ_Y（y）；
（3）E（2X-1）．

Answer 1

解 1）∵φ（x）=

(1)/(2)x，0≤x≤2

0，其它

∴P{|2X-1|＜2}=P{-0.5＜X＜1.5}=

∫

0 −0.5

0dx+

∫

1.5 0

(1)/(2)xdx＝(9)/(16)
2）∵FY(y)＝P(Y≤y)＝P(X2≤y)=P(−√(y)≤X≤√(y))
=P(X≤√(y))−P(X＜−√(y))=FX(√(y))−FX(−√(y))
∴φ_Y（y）=[F_Y（y）]′=(1)/(2√(y))[φX(√(y))+φX(−√(y))]
=(1)/(2√(y))[(1)/(2)√(y)+0]＝(1)/(4)，y＞0
∴

φY(y)＝

(1)/(2√(y))(φX(√(y))+φX(−√(y)))，y＞0

0，y≤0

=

(1)/(4)	，0＜y≤4
0	，其它

3）∵EX＝

∫

2 0

x•(1)/(2)xdx＝(4)/(3)
∴由数学期望的性质，知
E(2X−1)＝2EX−1＝2×(4)/(3)−1＝(5)/(3)