猜想归纳：为了建设经济型节约型社会，“先锋”材料厂把一批三角形废料重新利用，因此工人师傅需要把它们截成不同大小的正方形铁片．（1）如图①，若截取△ABC的内接正方形DEFG，请

Question

猜想归纳：为了建设经济型节约型社会，“先锋”材料厂把一批三角形废料重新利用，因此工人师傅需要把它们截成不同大小的正方形铁片．
（1）如图①，若截取△ABC的内接正方形DEFG，请你求出此正方形的边长；
（2）如图②，若在△ABC内并排截取两个相同的正方形（它们组成的矩形内接于△ABC），请你求此正方形的边长；
（3）如图③，若在△ABC内并排截取三个相同的正方形（它们组成的矩形内接于△ABC），请你求此正方形的边长；

（4）猜想：如图④，假设在△ABC内并排截取n个相同的正方形，使它们组成的矩形内接于△ABC，则此正方形的边长是多少？
（已知：AC=40，BC=30，∠C=90°）

Answer 1

（1）在图1中作△ABC的高CN交GF于M，
在Rt△ABC中，∵AC=40，BC=30，∴AB=50，CN=24．
由GF∥AB，得△CGF∽△CAB，
∴(CM)/(CN)＝(GF)/(AB)．
设正方形的边长为x，则(24−x)/(24)＝(x)/(50)，
解得x＝(600)/(37)．
即正方形的边长为(600)/(37)．

（2）方法同（1），如图2．
△CGF∽△CAB，则(CM)/(CN)＝(GF)/(AB)．
设小正方形的边长为x，
则(24−x)/(24)＝(2x)/(50)，
解得x＝(600)/(49)．
即小正方形的边长为(600)/(49)．

（3）在图3中，作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N，
∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，
∴(CM)/(CN)=(GF)/(AB)，
设每个正方形的边长为x，
则(24−x)/(24)=(3x)/(50)，
∴x=(600)/(61)；

（4）设每个正方形的边长为x，同理得到：
则(24−x)/(24)=(nx)/(50)，
则x=(600)/(12n+25)．
∴每个小正方形的边长为(600)/(12n+25)．