已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ADC=60°，若∠ACB为钝角，且AB>AC，BD>DC．（1）求证：BD-DC<AB-AC；（2）若点E在AD上，且DE=DB，延长CE交AB于点F，求∠BFC的度数．

Question

已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ADC=60°，若∠ACB为钝角，且AB>AC，BD>DC．

（1）求证：BD-DC<AB-AC；
（2）若点E在AD上，且DE=DB，延长CE交AB于点F，求∠BFC的度数．

Answer 1

（1）证明：在AB上截取AG，使AG=AC，连接GD．（如图）
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2．
在△AGD和△ACD中，

AG=AC

∠1=∠2

AD=AD

，
∴△AGD≌△ACD（SAS）．
∴DG=DC．
∵△BGD中，BD-DG<BG，
∴BD-DC<BG．
∵BG=AB-AG=AB-AC，
∴BD-DC<AB-AC；

（2） ∵由（1）知△AGD≌△ACD，
∴GD=CD，∠4=∠3=60°．
∴∠5=180°-∠3-∠4=180°-60°-60°=60°．
∴∠5=∠3．
在△BGD和△ECD中，

DB=DE

∠5=∠3

DG=DC

，
∴△BGD≌△ECD（SAS）．
∴∠B=∠6．
∵△BFC中，∠BFC=180°-∠B-∠7=180°-∠6-∠7=∠3，
∴∠BFC=60°．