是否存在常数a、b、c使得等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)对一切正整数n都成立？并证明你的结论．

Question

是否存在常数a、b、c使得等式1×2 ² ＋2×3 ² ＋3×4 ² ＋…＋n(n＋1) ² ＝ (an ² ＋bn＋c)对一切正整数n都成立？并证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：
　　∵n(n＋1)2＝n3＋2n2＋n， 　　∴Sn＝1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2 　　＝(13＋2×12＋1)＋(23＋2×22＋2)＋…＋(n3＋2×n2＋n) 　　＝(13＋23＋…＋n3)＋2(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋…＋n)． 　　由于下列等式对正整数n都成立， 　　13＋23＋…＋n3＝， 　　12＋22＋…＋n2＝， 　　1＋2＋…＋n＝． 　　由此可知Sn＝(3n2＋11n＋10)． 　　综上所述，当a＝3，b＝11，c＝10时，题设的等式对一切正整数n都成立． 　　
分 析：
数列求和在数列中占有重要的位置，有关存在性、探索性的问题是检验学生能力的关键所在．