已知函数y＝f（x）＝x2/a－1（a≥0）的图像在x＝1处的切线为I,求l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值.求过程,谢谢

Question

已知函数y＝f（x）＝x2/a－1（a≥0）的图像在x＝1处的切线为I,求l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值. 求过程,谢谢

Answer 1

f(x)=x²/a-1,f'(x)=2x/a
f(1)=1/a-1,f'(1)=2/a,l:y=(2/a)(x-1)+1/a-1
令x=0,则y=-1/a-1; 令y=0,则x=(a/2)(1-1/a)+1=a/2+1/2
∴S=(1/2)×|-1/a-1|×|a/2+1/2|=(1/4)×(1/a+1)×(a+1)=(1/4)(1+1/a+a+1)
=(1/4)(2+a+1/a)>=(1/4)(2+2√(a×1/a))=(1/4)×4=1(取等a=1/a,a=1)
综上,面积最小值为1
对函数求导
得到x=1时的切线斜率为2/a
得到直线的方程y-1/a+1=2/a（x-1）
那么得到y轴截距的绝对值等于（1/a+1）
x轴截距等于（1+a）/2
三角形面积等于1/4（a+1)²除以a
=0.25（a+1/a+2）
≥0.25（2+2）=1
当且仅当a=1时成立
三角形面积的最小值为1