已知定义域在非零实数集上的奇函数f（x）在（-∞,0）上单调递减,且f（-3）=0①求f（3）的值②求满足f（x）＞0的x的集合③若g（x）=根号2αcos（x+π/4）+1-α（α∈R）,x∈[3π/2,2π].是否存在正实

Question

已知定义域在非零实数集上的奇函数f（x）在（-∞,0）上单调递减,且f（-3）=0
①求f（3）的值
②求满足f（x）＞0的x的集合
③若g（x）=根号2 αcos（x+π/4）+1-α（α∈R）,x∈[3π/2,2π].是否存在正实数α,使得f（g（x））＞0恒成立?若存在,求出α的取值范围,若不存在,请说明理由

Answer 1

已知定义域在非零实数集上的奇函数f（x）在（-∞,0）上单调递减,且f（-3）=0,①求f（3）的值
②求满足f（x）＞0的x的集合
③若g（x）=根号2 αcos（x+π/4）+1-α（α∈R）,x∈[3π/2,2π].是否存在正实数α,使得f（g（x））＞0恒成立?若存在,求出α的取值范围,若不存在,请说明理由
(1)解析：∵定义域在非零实数集上的奇函数f（x）在（-∞,0）上单调递减
∴函数f(x)关于原点对称,在（0,+∞）上单调递减
∵f(-3)=0,∴f(3)=0
(2)解析：由题意可知：
X∈(-∞,-3]时,f(x)>0,X∈(0,3]时,f(x)>0
∴满足f（x）＞0的x的集合为(-∞,-3] U(0,3]
(3)解析：∵g(x)= √2acos(x+π/4)+1-a（a∈R）,x∈[3π/2,2π]
令g’(x)= √2asin(x+π/4)=0
解得x1=2kπ-π/4,x2=(2k+1) π-π/4
g’’(x)= -√2acos(x+π/4)
当a>0时,g”(x1)0,函数g(x)在x1处取极大值,在x2处取极小值；
当a0,g”(x2)0时,函数g(x)在7π/4处取极大值g(7π/4)=(√2-1)a+1；
g(3π/2)= g(2π)=√2aαcos(7π/4)+1-a=1
令(√2-1)a+1a