在三角形ABC中,b=4,c=3,BC边上的中线m=根号37/2,求a、S.

Question

在三角形ABC中,b=4,c=3,BC边上的中线m=根号37/2,求a、S.

Answer 1

解:设|向量AB|=c=3, |向量AC|=b=4, BC边上的中线|向量AD|=m=(√37)/2.
由向量的中线"定理",得：
向量AD=(1/2)(向量AB+向量AC).
|向量AD|^2=[(1/2)(向量AB+向量AC)]^2. 【以下略去“向量”二字】
=(1/4)(AB^2+2AB.AC+AC^2）.
即, m^2=(1/4)(c^2+2|b||c|cosA+b^2).
(√37/2)^=(1/4)(3^2+2*4*3cosA+4^2)
37/4=(1/4)(9+24cosA+16.
24cosA=37-9-16
=12.
cosA=12/24.
=1/2.
∴∠A=60°
应用余弦定理求a:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA.
=4^2+3^2-2*4*3*(1/2).
=25-12,
=13.
∴a=√13 (长度单位).

三角形ABC的面积S=(1/2)|AC|*|AB|*sinA.
S=(1/2)*3*4*√3/2 【sinA=sin60° = √3/2】
∴S=3√3 (面积单位).