高等代数什么是摄动方法它用来做什么证明?帮我举几个例子呗

Question

高等代数 什么是 摄动 方法 它用来做什么 证明?帮我举几个例子呗

Answer 1

一般来讲摄动方法可以用于解决奇异矩阵造成的困难,当然这个本质上是拓扑的而非代数的方法.
举一个例子,如果n(>1)阶实数方阵A和B满足AB=BA,证明adj(A)*B=B*adj(A),adj(A)表示A的伴随.
这个问题可以直接从代数上证明,不过用摄动会方便一点.
首先,如果A非奇异,那么AB=BA => BA^{-1}=A^{-1}B,再利用A^{-1}=adj(A)/det(A)即可.
如果A奇异,当t属于0的充分小的邻域时A+tI非奇异,考察F(t)=adj(A+tI)*B-B*adj(A+tI),F(t)关于t连续,对充分小的|t|>0有F(t)=0,取极限即得F(0)=0,也就是结论.