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(2008•上城区模拟)如图,Rt△ABC的两条直角边AB=4cm,AC=3cm,点D沿AB从A向B运动,速度是1cm/秒,同时,点E沿BC从B向C运动,速度为2cm/秒.动点E到达点C时运动终止.连接DE、CD、AE.(1)当动

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(2008•上城区模拟)如图,Rt△ABC的两条直角边AB=4cm,AC=3cm,点D沿AB从A向B运动,速度是1cm/秒,同时,点E沿BC从B向C运动,速度为2cm/秒.动点E到达点C时运动终止.连接DE、CD、AE.
(1)当动点运动几秒时,△BDE与△ABC相似?
(2)设动点运动t秒时△ADE的面积为s,求s与t的函数解析式;
(3)在运动过程中是否存在某一时刻t,使CD⊥DE?若存在,求出时刻t;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
设D点运动时间为t,则AD=t,BD=4-t,BE=2t,CE=5-2t(0≤t≤
5
2
),
(1)当∠BDE=∠BAC,即ED⊥AB时,Rt△BDE∽Rt△BAC,
∴BD:BA=BE:BC,即(4-t):4=2t:5,
∴t=
20
13

当∠BDE=∠BAC,即DE⊥AB时,Rt△BDE∽Rt△BCA,
∴BD:BC=BE:BA,即(4-t):5=2t:4,
∴t=
8
7

所以当动点运动
20
13
秒或
8
7
秒时,△BDE与△ABC相似;

(2)过E作EF⊥AB于F,如图,
易证Rt△BEF∽Rt△BAC,
∴EF:AC=BF:AB=BE:BC,即EF:3=BF:4=2t:5,
∴EF=
6t
5
,BF=
8t
5

∴S=
1
2
AD•EF=
1
2
•t•
6t
5
=
3
5
t2(0≤t≤
5
2
);

(3)存在.
DF=AB-AD-BF=4-t-
8t
5
=4-
13
5
t,
若CD⊥DE,
易证得Rt△ACD∽Rt△FDE,
∴AC:DF=AD:EF,即3:(4-
13
5
t)=t:
6t
5

∴t=
2
13
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