如图所示，一轻绳吊着粗细均匀的棒，棒下端离地面高H，上端套着一个细环，棒和环的质量均为m，相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg（k>1），断开轻绳，棒和环自由下落，假设棒足

Question

如图所示，一轻绳吊着粗细均匀的棒，棒下端离地面高H，上端套着一个细环，棒和环的质量均为m，相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg（k>1），断开轻绳，棒和环自由下落，假设棒足够长，与地面发生碰撞时，触地时间极短，无动能损失，棒在整个运动过程中始终保持竖直，空气阻力不计，求：

（1）棒第一次与地面碰撞弹起上升过程中，环的加速度；
（2）棒与地面第二次碰撞前的瞬时速度；
（3）从断开轻绳到棒和环都静止，摩擦力对棒和环做的功分别是多少？

Answer 1

（1）设棒第一次反弹上升过程中，环的加速度为a₁，由于k>1，所以kmg>mg
由牛顿第二定律得：kmg-mg=ma₁
解得：a₁=（k-1）g，方向竖直向上．
（2）在下落的过程中，棒、环系统机械能守恒，且下落过程中，棒、环之间无相对滑动，设棒第一次落地的速度大小为v₁，由机械能守恒得：
  (1)/(2)×2m

v

2 1

-0=2mgH-0，解得：v₁=√(2gH)
当棒触地反弹时，环将继续下落，棒、环之间存在相对滑动，设此时棒的加速度为a₂．
由牛顿第二定律得：mg+kmg=ma₂
解得：a₂=（k+1）g，方向竖直向下，即棒减速上升
环与棒将在空中达到相同速度v，有：v=v₁-a₁t=-v₁+a₂t   
解得：v=(v1)/(k)
设此时棒上升的高度为h₁，有：v²-v₁²=-2a₂h₁
此后，棒和环一起下落，设与地面碰撞前瞬间速度为v₂，有：
 v₂²-v²=2gh₁    
解得：v2=(1)/(√(k))v1=√((2gH)/(k))
（3）设摩擦力对棒和环做的功分别为W₁和W₂，整个过程中环与棒的相对位移为l
对棒有：mgH+W₁=0
对环有：mg（H+l）+W₂=0
对系统有：kmgl=mg（H+l）+mgH
解得：W₁=-mgH，W₂=W2=-(k+1)/(k-1)mgH
答：
（1）棒第一次与地面碰撞弹起上升过程中，环的加速度是（k-1）g，方向竖直向上；
（2）棒与地面第二次碰撞前的瞬时速度是√((2gH)/(k))；
（3）从断开轻绳到棒和环都静止，摩擦力对棒和环做的功分别是=-mgH和-(k+1)/(k-1)mgH．