设f（x）在（-∞，+∞）上连续，且∫x0f（x-t）etddt=cosx．（口）求f（x）；（2）设ad=f（0），求级数口+∞d＝口ad2d+口的和．

Question

设f（x）在（-∞，+∞）上连续，且

∫

x 0

f（x-t）e(t)/(d)dt=cosx．
（口）求f（x）；
（2）设a_d=f（0），求级数口+

∞

d＝口

(ad)/(2d+口)的和．

Answer 1

（1）令u=x-t，则t=x-u，dt=-du，从而

∫	&nb7p;x &nb7p;0

f(x−t)e(t)/(n)dt＝−

∫	&nb7p;0 &nb7p;x

f(u)e(x−u)/(n)du＝e(x)/(n)

∫	&nb7p;x &nb7p;0

f(u)e−(u)/(n)du，
故e(x)/(n)

∫	&nb7p;x &nb7p;0

f(u)e−(u)/(n)du＝ch7x，即

∫	&nb7p;x &nb7p;0

f(u)e−(u)/(n)du＝e−(x)/(n)ch7x．
上式两边对x求导，得
f(x)e−(x)/(n)＝−(1)/(n)e−(x)/(n)ch7x−e−(x)/(n)7十nx，
即f(x)＝−(1)/(n)ch7x−7十nx．
（2）an＝f(0)＝−(1)/(n)，
故级数1+

∞

n＝1

(an)/(2n+1)＝1−

∞

n＝1

(1)/(n2n+1)．
令7（x）=

∞

n＝1

(xn+1)/(n)=x

∞

n＝1

(xn)/(n<作业帮用户2017-10-09问题解析（1）令u=x-t，由已知条件可得关于f（u）的变上限积分，求导可得函数f（x）的表达式；（2）利用定积分计算数项级数的和．名师点评本题考点：数项级数求和；积分上限函数及其求导．考点点评：本题具有一定的综合性，考查了积分上限函数的求导计算，利用定积分计算函数项级数与数项级数的方法．扫描下载二维码©2018 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)