计算二重积分∫∫D|x−1|dxdy，其中D是第一象限内由直线y=0，y=x及圆x2+y2=2所围成的区域．

Question

计算二重积分

∫∫

D

|x−1|dxdy，其中D是第一象限内由直线y=0，y=x及圆x²+y²=2所围成的区域．

Answer 1

设：D₁=D∩{x≤1}={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤x}，
D₂=D∩{x≥1}={（x，y）|0≤y≤1，1≤x≤√(2−y2)}，
则：
I=

∬

D

|x−1|dxdy=

∬

D1

(1−x)dxdy+

∬

D2

(x−1)dxdy=I₁+I₂，
而：I₁=

∬

D1

(1−x)dxdy=

∫

1 0

dx

∫

1 0

(1−x)dy=(1)/(2)，
I₂=

∬

D2

(x−1)dxdy
=

∫

1 0

dy

∫

√(2−y2) 1

(x−1)dx=

∫

1 0

(1−(1)/(2)y2−√(2−y2))dy
=(y−(1)/(6)y3−(x)/(2)√(作业帮用户2017-10-31问题解析将积分区域分为D∩{x≥1}与D∩{x≤1}两部分，在两部分上分别计算．名师点评本题考点：二重积分的计算．考点点评：本题考查了分段函数的二重积分的计算．在计算二重积分时，如果被积函数是分段的，则需将区域分成相应的多个小区域．扫描下载二维码©2018 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)