设f(x)除以(x-1)^2的余式为x+2，除以(x-2)^2的余式为3x+4，则f(x

Question

设f(x )除以(x-1)^2 的余式为x+2 ，除以(x-2)^2的余式为3x+4 ，则f(x ) 除以(x-1)(x-2)^2 的余式为（ ）
A.4x^2-19x+12 B. -4x^2+19x-12 C. -4x^2-19x-12 D. 4x^2+19x-12

Answer 1

这样做，设：f(x ) 除以(x-1)(x-2)^2 的余式为h(x)。 则：存在多项式g（x）使得： f（x）=g(x)*(x-1)(x-2)^2+h(x). （1） 另一方面，f(x )除以(x-2)^2的余式为3x+4 。 由（1）式知，h(x)除以(x-2)^2的余式为3x+4 存在多项式l(x)，使得 h(x)=l(x)*(x-2)^2+3x+4 （2） 而（1）式中，h(x)为f(x ) 除以(x-1)(x-2)^2 的余式。故h（x）最高为二次多项式，否则除以(x-1)(x-2)^2还能除。 又由（2）式，l(x)最高为0次多项式，即为整数，设之为k。 则： h(x)=k(x-2)^2+3x+4 求出k，即可求出题中所求余式。 代入（1），有：f（x）=g(x)*(x-1)(x-2)^2+k(x-2)^2+3x+4 （3） 题目还有一个条件没用，就是f(x )除以(x-1)^2 的余式为x+2。 倘若拿（3）式代入来除(x-1)^2，当然可以继续做，但是太麻烦。。。 想到f(x )除以(x-1)^2 的余式为x+2 说明f(1)=1+2=3 带入（3）式可得：f（1）=k+7=3 从而k=-4 代入h(x)=k(x-2)^2+3x+4 即可得：h(x)=k(x-2)^2+3x+4 =-4x^2+19x-12 即为B 当然还有更简单的做法： 第一步，f(x ) 除以(x-1)(x-2)^2 的余式 至多为二次多项式。理由前面说了。 第二步，f(x )除以(x-1)^2 的余式为x+2，说明f(1)=1+2=3 第三步，f(x ) 除以(x-2)^2的余式为3x+4，说明f（2）=10 作为选择题，上述第二步和第三步已经足以解决问题了，代入4个答案验证即可。 这些都只是利用了题目条件的一部分而已。 f(x )除以(x-1)^2 的余式为x+2 不仅能说明 f（1）=3 还表明了 f'(1)=1 同理:f(2)=10,f'(2)=3.