设f(x)在[-π,π]上连续,且满足f(x)=x/(1+cos²x)+∫(上限π,下限-π)f(x)sinxdx,则f(x)=

Question

设f(x)在[-π,π]上连续,且满足f(x)=x/(1+cos²x)+∫(上限π,下限-π)f(x)sinxdx,则f(x)=

Answer 1

设∫ f(x) sinx dx= C
那么f(x) = x/(1+cos^2x) + C
代入得
∫ x/(1+cos^2x) sinx dx = C
所以 2C = ∫ x/(1+cos^2x) sinx dx
设
f(x) = 1/1+x^2
利用
∫xf(sin x)dx=π/2∫f(sin x)dx
得 C = π/2 ∫ 1/(1+cos^2x) sinx dx = π^2/4
所以f(x) = x/(1+cos²x) + π^2/4