已知线性方程Ax=b,其中b属于A的列空间,且A的列向量线性相关,那么该方程解的个数为多少?

Question

已知线性方程Ax=b,其中b属于A的列空间,且A的列向量线性相关,那么该方程解的个数为多少?

Answer 1

应该是无穷多个解.
首先,“b属于A的列空间”,就说明了这个非齐次方程组肯定有解.
原因如下：
b属于A的列空间,则b能由A的列向量的线性组合表示.设A有n列,将A按列分块,A=[a1,a2,...,an].再设b=k1a1+k2a2+...+knan,那么很明显,[k1,k2,...,kn]^T就是本题的一个解.(其中上标T表示转置)
所以首先可以肯定的是：本题有解.
其次,看有多少解.
我们回顾一下解非齐次方程的过程.是这样的：先求出对应的齐次方程的通解,再加上一个特解.
从中可以发现,非齐次方程的解得个数,就是取决于对应的齐次方程的解得个数.如果齐次方程只有一个解,那非齐次方程也只有一个解；如果齐次方程有无穷多个解,那么非齐次方程也是无穷多个解.
现在来看对应的齐次方程Ax=0有几个
由于A的列向量线性相关,所以r(A)