如图,正方形abcd的边长为2倍根号下15,e,f分别是ab,bc的中点,af与de,db分别交于点m,n,则三角形dmn的面积是

Question

如图,正方形abcd的边长为2倍根号下15,e,f分别是ab,bc的中点,af与de,db分别交于点m,n,则三角形dmn的面积是

Answer 1

延长AF交DC的延长线于G.
∵BF＝BC/2,∴△NBF的面积＝△NBC的面积/2.
∵ABCD是正方形,∴AD＝BC、AB∥BF,∴△NBF∽△NDA,∴BN/DN＝BF/AD,
∴BN/DN＝（BC/2）/BC＝1/2,∴BF＝DN/2,∴BF＋BF/2＝DN/2＋BF/2＝BD/2,
∴3BF/2＝BD/2,∴BF＝BD/3,∴△NBC的面积＝△BCD的面积/3.
∵ABCD是正方形,∴DC＝BC＝2√15,∴△BCD的面积＝（1/2）DC×BC＝30.
∴△NBC的面积＝10,∴△NBF的面积＝5.
∵△NBF∽△NDA,∴△NBF的面积/△NAD的面积＝（BN/DN）^2＝（1/2）^2＝1/4,
∴△NAD的面积＝4△NBF的面积＝4×5＝20.
∵AB∥CG,∴∠BAF＝∠DGF,又∠AFB＝∠CFG、BF＝CF,∴△ABF≌△GCF,
∴AF＝GF、AB＝CG,∴DG＝DC＋CG＝2AB.
∵AE∥DG,∴△MAE∽△MGD,∴AM/GM＝AE/DG＝AE/（2AB）,又AE＝AB/2,
∴AM/GM＝（AB/2）/（2AB）＝1/4,∴AM＝GM/4＝（FM＋GF）/4＝（AF－AM＋AF）/4,
∴4AM＝2AF－AM,∴AM＝2AF/5.∴△MAD的面积＝（2/5）△ADF的面积.
∵ABCD是正方形,∴AD∥CF,∴△ADF的面积＝△ADC的面积＝（1/2）AD×DC＝30.
∴△MAD的面积＝（2/5）△ADF的面积＝（2/5）×30＝12.
∴△DMN的面积＝△NAD的面积－△MAD的面积＝20－12＝8.