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已知函数f(x)=(x-2)ex+a.(a∈R)(I)试确定函数f(x)的零点个数;(II)设x1,x2是函数f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.参考公式:(et-x)'=-et-x(t为常数)
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已知函数f(x)=(x-2)ex+a.(a∈R)
(I)试确定函数f(x)的零点个数;
(II)设x1,x2是函数f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.
参考公式:(et-x)'=-et-x(t为常数)
(I)试确定函数f(x)的零点个数;
(II)设x1,x2是函数f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.
参考公式:(et-x)'=-et-x(t为常数)
▼优质解答
答案和解析
(I)由g(x)=0得a=(2-x)ex,令g(x)=(2-x)ex,

函数f(x)的零点个数即直线y=a与曲线g(x)=(2-x)ex的交点个数,
∵g'(x)=-ex+(2-x)ex=(1-x)ex,-------------(2分)
由g'(x)>0得x<1,∴函数g(x)在(-∞,1)单调递增,
由g'(x)<0得x>1,∴函数g(x)在(1,+∞)上单调递减,
∴当x=1时,函数g(x)有最大值,g(x)max=g(1)=e,----------------------------------------(3分)
又当x<2时,g(x)>0,g(2)=0,当x>2时g(x)<0,
∴当a>e时,函数f(x)没有零点;----------------------------------------------------------------(4分)
当a=e或a≤0时,函数f(x)有一个零点;------------------------------------------------------(5分)
当0(II)证明:函数f(x)的零点即直线y=a与曲线g(x)=(2-x)ex的交点横坐标,
不妨设x12,由(I)知x1<1,x2>1,得2-x2<1,
∵函数g(x)=(2-x)ex在(-∞,1)上单调递增,
∴函数f(x)=-g(x)+a在(-∞,1)单调递减,
要证x1+x2<2,只需证x1<2-x2,------------------------------------------------------------(7分)
∴只需证f(x1)>f(2-x2),又f(x1)=0,即要证f(2-x2)<0,---------------------(8分)
∵由a=g(x2)得f(2-x2)=-x2e2-x2+a=-x2e2-x2-(x2-2)ex2,(x2>1)--------(9分)
令h(x)=-xe2-x-(x-2)ex,则h'(x)=(1-x)(ex-e2-x),------------------------------(10分)
当x>1时,ex>e2-x,h'(x)<0,即函数h(x)在(1,+∞)上单调递减,
∴h(x)<h(1)=0,
∴当x2>1时,f(2-x2)<0,即x1+x2<2.------------------------------------------------(12分)
证法二:由(Ⅰ)知,a>0,不妨设x1<1<x2,
设F(x)=f(x)-f(2-x)(x>1),则F(x)=(x-2)ex+xe2-x,-----------------------------(8分)
F'(x)=(1-x)(e2-x-ex),易知y=e2-x-ex是减函数,
当x>1时,e2-x-ex<e-e=0,又1-x<0,得F'(x)>0,
所以F(x)在(1,+∞)递增,F(x)>F(1)=0,即f(x)>f(2-x).---------------------------(10分)
由x2>1得f(x2)>f(2-x2),又f(x2)=0=f(x1),所以f(2-x2)<f(x1),
由g(x)=(2-x)ex在(-∞,1)上单调递增,得f(x)=-g(x)+a在(-∞,1)单调递减,
又2-x2<1,∴2-x2>x1,即x1+x2<2,得证.---------------------------------------(12分)】

函数f(x)的零点个数即直线y=a与曲线g(x)=(2-x)ex的交点个数,
∵g'(x)=-ex+(2-x)ex=(1-x)ex,-------------(2分)
由g'(x)>0得x<1,∴函数g(x)在(-∞,1)单调递增,
由g'(x)<0得x>1,∴函数g(x)在(1,+∞)上单调递减,
∴当x=1时,函数g(x)有最大值,g(x)max=g(1)=e,----------------------------------------(3分)
又当x<2时,g(x)>0,g(2)=0,当x>2时g(x)<0,
∴当a>e时,函数f(x)没有零点;----------------------------------------------------------------(4分)
当a=e或a≤0时,函数f(x)有一个零点;------------------------------------------------------(5分)
当0(II)证明:函数f(x)的零点即直线y=a与曲线g(x)=(2-x)ex的交点横坐标,
不妨设x1
∵函数g(x)=(2-x)ex在(-∞,1)上单调递增,
∴函数f(x)=-g(x)+a在(-∞,1)单调递减,
要证x1+x2<2,只需证x1<2-x2,------------------------------------------------------------(7分)
∴只需证f(x1)>f(2-x2),又f(x1)=0,即要证f(2-x2)<0,---------------------(8分)
∵由a=g(x2)得f(2-x2)=-x2e2-x2+a=-x2e2-x2-(x2-2)ex2,(x2>1)--------(9分)
令h(x)=-xe2-x-(x-2)ex,则h'(x)=(1-x)(ex-e2-x),------------------------------(10分)
当x>1时,ex>e2-x,h'(x)<0,即函数h(x)在(1,+∞)上单调递减,
∴h(x)<h(1)=0,
∴当x2>1时,f(2-x2)<0,即x1+x2<2.------------------------------------------------(12分)
证法二:由(Ⅰ)知,a>0,不妨设x1<1<x2,
设F(x)=f(x)-f(2-x)(x>1),则F(x)=(x-2)ex+xe2-x,-----------------------------(8分)
F'(x)=(1-x)(e2-x-ex),易知y=e2-x-ex是减函数,
当x>1时,e2-x-ex<e-e=0,又1-x<0,得F'(x)>0,
所以F(x)在(1,+∞)递增,F(x)>F(1)=0,即f(x)>f(2-x).---------------------------(10分)
由x2>1得f(x2)>f(2-x2),又f(x2)=0=f(x1),所以f(2-x2)<f(x1),
由g(x)=(2-x)ex在(-∞,1)上单调递增,得f(x)=-g(x)+a在(-∞,1)单调递减,
又2-x2<1,∴2-x2>x1,即x1+x2<2,得证.---------------------------------------(12分)】
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