已知函数f（x）=（x-2）ex+a．（a∈R）（I）试确定函数f（x）的零点个数；（II）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，证明：x1+x2<2．参考公式：（et-x）'=-et-x（t为常数）

Question

已知函数f（x）=（x-2）e^x+a．（a∈R）
（I）试确定函数f（x）的零点个数；
（II）设x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，证明：x₁+x₂<2．
参考公式：（e^t-x）'=-e^t-x（t为常数）

Answer 1

（I）由g（x）=0得a=（2-x）e^x，令g（x）=（2-x）e^x，

函数f（x）的零点个数即直线y=a与曲线g（x）=（2-x）e^x的交点个数，
∵g'（x）=-e^x+（2-x）e^x=（1-x）e^x，-------------（2分）
由g'（x）>0得x<1，∴函数g（x）在（-∞，1）单调递增，
由g'（x）<0得x>1，∴函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴当x=1时，函数g（x）有最大值，g（x）_max=g（1）=e，----------------------------------------（3分）
又当x<2时，g（x）>0，g（2）=0，当x>2时g（x）<0，
∴当a>e时，函数f（x）没有零点；----------------------------------------------------------------（4分）
当a=e或a≤0时，函数f（x）有一个零点；------------------------------------------------------（5分）
当0（II）证明：函数f（x）的零点即直线y=a与曲线g（x）=（2-x）e^x的交点横坐标，
不妨设x₁2，由（I）知x₁<1，x₂>1，得2-x₂<1，
∵函数g（x）=（2-x）e^x在（-∞，1）上单调递增，
∴函数f（x）=-g（x）+a在（-∞，1）单调递减，
要证x₁+x₂<2，只需证x₁<2-x₂，------------------------------------------------------------（7分）
∴只需证f（x₁）>f（2-x₂），又f（x₁）=0，即要证f（2-x₂）<0，---------------------（8分）
∵由a=g（x₂）得f(2-x2)=-x2e2-x2+a=-x2e2-x2-(x2-2)ex2，（x₂>1）--------（9分）
令h（x）=-xe^2-x-（x-2）e^x，则h'（x）=（1-x）（e^x-e^2-x），------------------------------（10分）
当x>1时，e^x>e^2-x，h'（x）<0，即函数h（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴h（x）<h（1）=0，
∴当x₂>1时，f（2-x₂）<0，即x₁+x₂<2．------------------------------------------------（12分）
证法二：由（Ⅰ）知，a>0，不妨设x₁<1<x₂，
设F（x）=f（x）-f（2-x）（x>1），则F（x）=（x-2）e^x+xe^2-x，-----------------------------（8分）
F'（x）=（1-x）（e^2-x-e^x），易知y=e^2-x-e^x是减函数，
当x>1时，e^2-x-e^x<e-e=0，又1-x<0，得F'（x）>0，
所以F（x）在（1，+∞）递增，F（x）>F（1）=0，即f（x）>f（2-x）．---------------------------（10分）
由x₂>1得f（x₂）>f（2-x₂），又f（x₂）=0=f（x₁），所以f（2-x₂）<f（x₁），
由g（x）=（2-x）e^x在（-∞，1）上单调递增，得f（x）=-g（x）+a在（-∞，1）单调递减，
又2-x₂<1，∴2-x₂>x₁，即x₁+x₂<2，得证．---------------------------------------（12分）】