四面体DABC中,AB,BC,BD两两垂直,且AB=BC=2,点E是AC中点；异面直线AD与BE所成角为θ,且cosθ=（√10）/10,求四面体DABC的体积.

Question

四面体DABC中,AB,BC,BD两两垂直,且AB=BC=2,点E是AC中点；异面直线AD与BE所成角为θ,且cosθ=（√10）/10,求四面体DABC的体积.

Answer 1

以B为原点,BC为X轴,BD为Y轴,BA为Z轴建立空间坐标系,
B（0,0,0）,C（2,0,0）,D（0,y0,0) ,A(0,0,2),E(1,0,1),
向量BE=（1,0,1）,向量DA=（0,-y0,2),
向量BE·DA=0+0+2=2,
|BE|=√2,|DA|=√（4+y0^2),
设DA与BE所成的角为θ
cosθ=√10/10,
cosθ=BE·DA/（|BE|*|DA|）=2/[√2（4+y0^2)]=√[2/（4+y0^2)]=√10/10,
y0^2=16,
y0=±4,
∴|BD|=4,
∴V=[|BA|*|BC|/2]*|BD|/3=8/3.
若未学向量,则用一般方法.
取CD中点F,连结EF,BF,
EF是△ADC中位线,EF//AD,且EFF=AD/2,
则〈BEF就是BE和AD所成角,
AC=√2AB=2√2,
BE=AC/2=√2,
∵AB=BC,BD=BD,〈ABD=〈DBC=90°,
∴RT△ABD≌RT△CBD,
∴AD=CD,
∵BF是RT△BDC斜边上的中线,
∴BF=CD/2,
∴EF=BF,
设x=EF=BF,
在△BEF中,根据余弦定理,
BF^2=BE^2+EF^2-2*BE*EF*cos