（2014•密云县二模）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGF，如此下去…．（1）记正

Question

（2014•密云县二模）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGF，如此下去…．
（1）记正方形ABCD的边长为a₁=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a₂，a₃，a₄，…，a_n，求出a₄=

2√(2)

2√(2)

；
（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长a_n的表达式

a_n=（√(2)）^n-1

a_n=（√(2)）^n-1

．（n＞=1）（n是自然数）

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AB=BC=1，
∴a₁=1=（√(2)）⁰，
由勾股定理得：a₂=AC=√(12+12)=√(2)=（√(2)）¹，
同理由勾股定理得：a₃=√((√(2))2+(√(2))2)=2=（√(2))²，
a₄=√(22+22)=2√(2)，
故答案为：2√(2)；

（2）∵a₁=（√(2)）⁰=1，a₂=（√(2)）¹，a₃=（√(2)）²，a₄=（√(2)）³，…，
∴a_n=（√(2)）^n-1，
故答案为：a_n=（√(2)）^n-1．