某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件

Question

某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润=销售额-生产费用）

（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；
（2）求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？
（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？

Answer 1

（1）图①可得函数经过点（100，1000），
设抛物线的解析式为y=ax²（a≠0），
将点（100，1000）代入得：1000=10000a，
解得：a=(1)/(10)，
故y与x之间的关系式为y=(1)/(10)x²．
图②可得：函数经过点（0，30）、（100，20），
设z=kx+b，则

100k+b=20

b=30

，
解得：

k=-(1)/(10)

b=30

，
故z与x之间的关系式为z=-(1)/(10)x+30；

（2）W=zx-y=-(1)/(10)x²+30x-(1)/(10)x²
=-(1)/(5)x²+30x
=-(1)/(5)（x²-150x）
=-(1)/(5)（x-75）²+1125，
∵-(1)/(5)<0，
∴当x=75时，W有最大值1125，
∴年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；

（3）令y=360，得(1)/(10)x²=360，
解得：x=±60（负值舍去），
由图象可知，当0<y≤360时，0<x≤60，
由W=-(1)/(5)（x-75）²+1125的性质可知，
当0<x≤60时，W随x的增大而增大，
故当x=60时，W有最大值1080，
答：今年最多可获得毛利润1080万元．