有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是60°，又侧棱与底面所成的角都是45°，则这个棱锥的体积是（）A.1B.3C.34D.32

Question

有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是60°，又侧棱与底面所成的角都是45°，则这个棱锥的体积是（　　）
A. 1
B. √(3)
C. (√(3))/(4)
D. (√(3))/(2)

Answer 1

如图，在等腰梯形ABCD中，AD=AB=DC=1，∠ABC=60°，过A作AH⊥BC于H，
则BH=BA•cos60°=(1)/(2)．AH=(√(3))/(2)．
根据等腰梯形的性质，下底BC=AD+2BH=2．设O为BC中点，则BO=OC=1，△ABO为正三角形，∠BAO=60°，△AOC为等腰三角形，∠OAC=30°，
∴∠BAC=90°．
因为侧棱与底面所成的角都是45°，所以顶点P在底面的射影到ABCD各顶点的距离相等，即为等腰梯形ABCD 的外接圆的圆心，也为RT△BAC外心，即为点O，
∴PO为四棱锥的高．PO=OC=1．
又S梯形ABCD=(1)/(2)（AD+BC）×AH=(1)/(2)×3 ×(√(3))/(2)=(3√(3))/(4)
∴锥体体积V=(1)/(3)S_梯形ABCD×PO=(√(3))/(4)
故选C．