（2008•卢湾区一模）已知，在△ABC中（∠A＜∠B），AB=AC=8，cosA＝78．（1）求BC的长（如图a）；（2）P、Q分别是AB、BC上的点，且BP：CQ=2：1，连接PQ并延长，交AC的延长线于点E，设CQ=x，CE=y（

Question

（2008•卢湾区一模）已知，在△ABC中（∠A＜∠B），AB=AC=8，cosA＝(7)/(8)．
（1）求BC的长（如图a）；
（2）P、Q分别是AB、BC上的点，且BP：CQ=2：1，连接PQ并延长，交AC的延长线于点E，设CQ=x，CE=y（如图b）．
①求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域；
②当x为何值时，△PEA是等腰三角形？

Answer 1

（1）过点B作BD⊥AC，垂足为点D，
∵在Rt△ADB中，AB＝8，cosA＝(7)/(8)，
∴AD=AB•cosA=7，
∴CD＝1，BD＝

82−72

＝

15

，
∴在Rt△BDC中，BC＝

BD2+CD2

＝

15+1

＝4（1分），

（2）①过点P作PF∥BC，交AC于点F，
∴(PF)/(BC)＝(AP)/(AB)＝(AC−FC)/(AC)，
∴(PF)/(4)＝(8−2x)/(8)＝(8−FC)/(8)，
∴PF=4-x，FC=2x，
∵PF∥BC，
∴(CQ)/(PF)＝(CE)/(FE)，
∴(x)/(4−x)＝(y)/(2x+y)，
∴y＝(x2)/(2−x)(0＜x＜2)，
②若AP=AE，AP＜8，AE＞8，矛盾，
∴AP=AE不存在，
若AE=PE，则∠A=∠APE，
∵∠APE＞∠B，∠A＜∠B，矛盾，
∴AE=PE不存在，
若AP=EP，过点P作PM⊥AE，垂足为点M，
∴AM＝(AE)/(2)＝(8+y)/(2)，
∴cosA＝(AM)/(AP)＝((8+y)/(2))/(8−2x)＝(7)/(8)，
整理得7x+2y=12，
又∵y＝(x2)/(2−x)，解得x1＝(6)/(5)，x2＝4（舍去），
∴当x＝(6)/(5)时，△PEF是等腰三角形．