将以2π为周期的函数f(x)=π²-x²,(-π≤x≤π)展开成傅里叶级数

Question

将以2π为周期的函数f(x)=π²-x²,(-π≤x≤π)展开成傅里叶级数

Answer 1

　　函数 f(x) 在 [-π,π] 是偶函数,其傅里叶级数是余弦级数,先求傅里叶系数
　　　a(0) = (2/π)∫[0,π](π²-x²)dx = ……,
　　　a(n) = (2/π)∫[0,π](π²-x²)cosnxdx = ……,n≥1,
　　　b(n) = 0,n≥1,
所以,f(x) 在 [-π,π] 上的傅里叶级数（余弦级数）为
　　　f(x) a(0)/2+∑(n≥1)a(n)cosnx = ……,（省略处留给你）
由于函数 f(x) 在 (-∞,+∞) 上是连续函数（作图）,则该级数的和函数为
　　　S(x) = [f(x-0)+f(x+0)]/2 = f(x),x∈[-π,π].