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非一致收敛的函数级数的和函数一定不连续,所以若一个函数级数的和函数不连续,那么这个函数级数一定不是一致收敛的,这样说对吗?
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非一致收敛的函数级数的和函数一定不连续,所以若一个函数级数的和函数不连续,那么这个函数级数一定不是一致收敛的,这样说对吗?
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答案和解析
第二个对但是第一个不对啊,一致收敛的函数列其极限函数一定连续,但是极限函数连续的函数列不一定是一致收敛的,也就是说不一致收敛的函数列其极限函数也有可能连续,例如函数列{nxe^(-nx)}在[0,1]上不一致收敛,但其收敛于连续函数f(x)=0.一致收敛只是极限函数连续的充分条件,而不是必要条件,所以级数作为特殊的函数列,当然也有可能存在不一致收敛的函数级数但其和函数连续.而第二个说法,其实就是“一致收敛的函数级数其和函数连续”的逆否命题,当然是正确的.
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