若在由正整数构成的无穷数列{a下标n}中,对任意的正整数n,都有a(下标)n≤a（下标）n+1,且对人任意的正整数k,该数列中恰有k个k,则a（下标）2008=?

Question

若在由正整数构成的无穷数列{a下标n}中,对任意的正整数n,都有a(下标)n≤a（下标）n+1,且对人任意的正整数k,该数列中恰有k个k,则a（下标）2008=?

Answer 1

对任意的正整数k,该数列中恰有k个k
所以有1个1,2个2,3个3,……
因为a(下标)n≤a（下标）n+1
所以此数列就是1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,……
所以最后一个1是第1个
最后一个2是第1+2个
最后一个3是第1+2+3个
最后一个n是第1+2+3+……n=n(n+1)/2个
设a2008=k
则k(k-1)/2<2008<=k(k+1)/2
k(k-1)/2<2008
k^2-k-4016<0
k<=63
k(k+1)/2>=2008
k^2+k-4016>=0
k>=63
所以k=63
所以a2008=63