（2014•福州一模）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d（b、c、d为常数），当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取极小值，则（b+12）2+（c-3）2的取值范围是（）A．（372，5）B．（5，5）C．

Question

（2014•福州一模）已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d（b、c、d为常数），当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取极小值，则（b+(1)/(2)）²+（c-3）²的取值范围是（　　）

A．（(√(37))/(2)，5）
B．（√(5)，5）
C．（(37)/(4)，25）
D．（5，25）

Answer 1

∵f（x）=x³+bx²+cx+d，
∴f′（x）=3x²+2bx+c，
∵函数f（x）在x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取极小值，
∴f′（x）=3x²+2bx+c=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根，
∴f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＜0，
即

c＞0

3+2b+c＜0

12+4b+c＞0

，
在bOc坐标系中画出其表示的区域，如图，
（b+(1)/(2)）²+（c-3）²表示点A（-(1)/(2)，3）与可行域内的点连线的距离的平方，
点A（-(1)/(2)，3）到直线3+2b+c=0的距离为(|−1+3+3|)/(√(5))=√(5)，
由12+4b+c=0与3+2b+c=0联立，可得交点为（-4.5，6），与点A（-(1)/(2)，3）的距离为5，
∴（b+(1)/(2)）²+（c-3）²的取值范围是（5，25），
故选：D．