在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是C1D的中点，P是棱CC1所在直线上的动点．则下列四个命题：①CD⊥PE②EF∥平面ABC1③VP-A1DD1=VD1-ADE④不存在过P的直线与正四棱柱的各个面都成等角．其

Question

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，F是C₁D的中点，P是棱CC₁所在直线上的动点．则下列四个命题：
①CD⊥PE
②EF∥平面ABC₁
③VP-A1DD1=VD1-ADE
④不存在过P的直线与正四棱柱的各个面都成等角．
其中正确命题的序号是___（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

在①中：∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，F是C₁D的中点，P是棱CC₁所在直线上的动点，
∴CD⊥平面ECC₁，又PE⊂平面ECC₁，∴CD⊥PE，故①正确；
在②中：EF⊂平面EC₁D，延长C₁E与B₁B交于H，连接DH，得DH平行于EF，
DH与平面ABC₁相交，故②EF∥平面ABC₁不正确；
在③中：VP-A1DD1=(1)/(6)VABCD-A1B1C1D1，VD1-ADE=(1)/(6)VABCD-A1B1C1D1，
故③VP-A1DD1=VD1-ADE正确；
在④中：过P做一条与以ABCD为底面的正方体的对角线平行的直线，
则该直线与正四棱柱的各个面都成等角．故④不正确；
故正确命题的序号为：①③．
故答案为：①③．