在一次数学兴趣小组活动中，小明利用同弧所对的圆周角及圆心角的性质探索了一些问题，下面请你和小明一起进入探索之旅．问题情境：（1）如图1，在△ABC中，∠A=30°，BC=2，则△ABC的

Question

在一次数学兴趣小组活动中，小明利用同弧所对的圆周角及圆心角的性质探索了一些问题，下面请你和小明一起进入探索之旅．
问题情境：
（1）如图1，在△ABC中，∠A=30°，BC=2，则△ABC的外接圆的半径为___．
操作实践：
（2）如图2，在矩形ABCD中，请利用以上操作所获得的经验，在矩形ABCD内部用直尺与圆规作出一点P．点P满足：∠BPC=∠BEC，且PB=PC．
（要求：用直尺与圆规作出点P，保留作图痕迹．）
迁移应用：
（3）如图3，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B，坐标为（2，m）．过点B作AB⊥y轴，BC⊥x轴，垂足分别为A、C，若点P在线段AB上滑动（点P可以与点A、B重合），发现使得∠OPC=45°的位置有两个，则m的取值范围为___．

Answer 1

（1）如图1中，连接OB、OC．

∵∠BOC=2∠A，∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=OC=BC=2，
故答案为：2；

（2）如图2中，作BC的垂直平分线，交BE于点O；
以O为圆心，OB为半径作圆，交垂直平分线于点P，
则点P为所求．


（3）如图3中，在x轴上方作△OKC，使得△OKC是以OC为斜边的等腰直角三角形，作KE⊥AB于E．

∵OC=2，
∴OK=KC=√(2)，
当EK=KC=√(2)时，以K为圆心，KC为半径的圆与AB相切，此时m=BC=1+√(2)，在AB上只有一个点P满足∠OPC=(1)/(2)∠OKC=45°，
当BK=√(2)时，在AB上恰好有两个点P满足∠OPC=(1)/(2)∠OKC=45°，此时m=BC=2，
综上所述，满足条件的m的值的范围为2≤m<1+√(2)．
故答案为2≤m<1+√(2)．