特征值证明问题设n阶矩阵A=（aij）的特征值为λ1,λ2,λ3……λn①λ1+λ2+λ3……+λn=a11+a22+ann;②λ1*λ2*λ3……λn=|A|

Question

特征值证明问题
设n阶矩阵A=（a ij）的特征值为λ1,λ2,λ3……λn
①λ1+λ2+λ3……+λn=a11+a22+ann;
②λ1*λ2*λ3……λn=|A|

Answer 1

A的特征值 λ1,λ2,λ3……λn 是 A 有特征多项式 f(λ) = |A-λE| 的根.
即有 f(λ) = |A-λE| = (λ1-λ)(λ2-λ).(λn-λ) = (-λ)^n + (λ1+λ2+...+λn)(-λ)^(n-1) + ...+ λ1λ2...λn
行列式 |A-λE| 中出现 λ^(n-1) 的项 只有对角线上n个元素的乘积,即
在 (a11-λ)(a22-λ)...(ann-λ) 中.
且 (-λ)^(n-1) 的系数就是 a11+a22+...+ann
所以有 ① λ1+λ2+λ3……+λn=a11+a22+ann.
②的证明也是一样.λ=0时就是多项式的常数项.