在锐角三角形ABC中,M,P是形内二点,若∠AMB＝∠BMC＝∠CMA＝120°；求证:PA＋PB＋PC≥MA＋MB＋MCABC不是等边三角形,M点为什么是重心，为什么重心到顶点距离最短

Question

在锐角三角形ABC中,M,P是形内二点,若∠AMB＝∠BMC＝∠CMA＝120°；求证:PA＋PB＋PC≥MA＋MB＋MC
ABC不是等边三角形,
M点为什么是重心，为什么重心到顶点距离最短

Answer 1

锐角三角形ABC中,M,P是形内二点,若∠AMB＝∠BMC＝∠CMA＝120°,则：
∠PAB+∠PBA=60°
∠PBC+∠PCB=60°
∠PAC+∠PCA=60°
∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB+∠PAC+∠PCA=∠A+∠B+∠C=180°
∠A=∠B=∠C=60°,三角形ABC为等边三角形,点P是三角形ABC三边垂直平分线的交点,所以PA＋PB＋PC是最小值,M,P是形内二点,PA＋PB＋PC≥MA＋MB＋MC.（只有当点M和点P重合时才相等）.