小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做圆周运动，其轨道半径为月球半径的3倍，某时刻，航天站使登月器减速分离，登月器沿如图所示的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一段时间完成科

Question

小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做圆周运动，其轨道半径为月球半径的3倍，某时刻，航天站使登月器减速分离，登月器沿如图所示的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一段时间完成科考工作后，经快速启动仍沿原椭圆轨道返回，当登月器第一次回到分离点时，登月器恰与航天站对接，忽略登月器快速启动和制动时间，整个过程中航天站保持原轨道绕月运行．已知月球表面的重力加速度为g，月球半径为R，不考虑月球自转的影响，则登月器可以在月球上停留的最短时间约为（　　）

A. 1.4π

√((R)/(g))

B. 1.7π

√((R)/(g))

C. 3.6π

√((R)/(g))

D. 4.7π

√((R)/(g))

Answer 1

设登月器和航天飞机在半径3R的轨道上运行时的周期为T，因其绕月球作圆周运动，所以应用牛顿第二定律有：
G(mM)/(r2)=mr(4π2)/(T2)
r=3R
T=2π√((r3)/(GM))=6π√((3R3)/(GM))，
在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力，
GM=gR²
所以T=6π√((3R)/(g))…①
设登月器在小椭圆轨道运行的周期是T₁，航天飞机在大圆轨道运行的周期是T₂．
对登月器和航天飞机依据开普勒第三定律分别有：(T2)/((3R)3)=(T21)/((2R)3)=(T22)/((3R)3)
为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天飞机实现对接，登月器可以在月球表面逗留的时间t应满足：
t=nT₂-T₁ ③（其中，n=1、2、3、…）…
联立①②③得：t=6πn√((3R)/(g))-4π√((2R)/(g))（其中，n=1、2、3、…）
当n=1时，登月器可以在月球上停留的时间最短，即：t=4.7π√((R)/(g))
故选：D．