（顶层根数+底层根数）×层数÷2就可以算出根数,这是为什么?

Question

（顶层根数+底层根数）×层数÷2就可以算出根数,这是为什么?

Answer 1

仔细看下面情景,然后你就懂了.
引导学生从题中找出这样几个信息：这堆圆木堆放的横截面形状像梯形,每一层比上层都少1根；知道顶层、底层圆木的根数,堆放的层数；要求这堆圆木一共有多少根.
教师：在我们的生活中经常会看到圆木、钢材等堆放成这样的形状,要知道这堆圆木一共有多少根,你准备怎么解决呢?
学生讨论后回答.如果有学生说出可以一根一根地数时,教师肯定这种方法后追问：如果每层堆放了很多根,堆了很多层,这样一根一根的数还方便吗?
学生：不方便.
教师：是呀,如果我们能找到圆木的堆放规律,就能比较巧妙地、也更方便地算出圆木的根数了.同学们能发现它的堆放规律吗?
引导学生四人小组讨论后强调堆放规律是：从上往下,一层比一层多放1根.
教师：你能利用这个规律来求圆木的根数吗?怎么求?
学生四人小组讨论算法后汇报,估计学生提出的方法有：
1.把每层的根数加起来：3+4+5+6+7+8=33(根).
2.把第1层的根数和最后一层的根数相加(3+8),第2层和倒数第2层的根数相加(4+7),第3层和第4层的根数相加(5+6),这样就有3个11根：(3+8)+(4+7)+(5+6)=11×3=33(根).
教师：刚才同学们利用圆木的堆放规律,较为巧妙地算出了圆木的根数,除了这样算以外,还有没有其他的算法呢?
如果学生能说出来,就由学生来叙述自己的算法,如果学生分析有困难,教师则作下面的引导.
教师：刚才我们还知道这样一个信息,这堆圆木的横截面像我们学过的什么图形?
学生：梯形.
教师：那咱们能不能像梯形的面积公式的推导方式那样来分析圆木总根数的计算方法呢?让我们一起来试一试.
多媒体课件演示将同样的两个横截面是梯形的圆木图形一正一反的拼在一起,形成一个“平行四边形”的过程.
学生看后独立思考,小组交流后汇报：
引导学生说出：把两堆完全一样的圆木一正一反地堆放,每层圆木的根数就同样多了.
教师追问：每层圆木的根数是多少呢?
学生：11根.
教师：这11根怎么得来的呢?
引导学生分析出这11根是“顶层的根数+底层的根数”.
教师：那这样两堆圆木的根数又是多少呢?
引导学生分析出：两堆圆木的根数=（顶层的根数+底层的根数）×层数,从而分析出：一堆圆木的根数=（顶层的根数+底层的根数）×层数÷2.
教师：这种方法和求梯形面积的计算公式比较相似,但它是在求面积吗?为什么?
引导学生说出：不是在求面积,它是在求圆木的根数.虽然圆木堆放的形状的横截面像梯形,但不是一个标准的梯形,因为这些圆木的中间有空隙.
教师：虽然它不是一个标准的梯形,但是我们在解决这个问题时借鉴了梯形面积公式的推导方法.所以在解决问题的过程中,类似的问题可以相互借鉴.下面请同学们用这种方法算一算,看它的结果是否和我们前面算出的结果一样.
学生计算,并得出一样的结果