皮克定理在格点多面体成立吗

Question

皮克定理在格点多面体成立吗

Answer 1

查了一下,Pick定理不能直接推广到高维.
考虑Reeve四面体,以(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,r),r为任意正整数.
不难验证,对任意r,该四面体的内部和边界都不包含顶点以外的整点.
于是对不同的r,整点数目相同但是体积不同.
因此Pick定理不能直接推广.
不过,有所谓Ehrhart多项式能作为间接推广.
因为该多项式本身是由整点数目给出的,
而最高次项系数与体积对应,次高次项系数对应边界"体积",常数项对应Euler数.
在2维情况就得到Pick定理.
但是其它项的系数很难描述,所以高维情况比2维情况复杂.