数学课上，张老师出示图1和下面框中条件：请你和艾思轲同学一起尝试探究下列问题：（1）①当点C与点F重合时，如图2所示，可得AMDM的值为；②在平移过程中，AMDM的值为x2x2（用含x的

Question

数学课上，张老师出示图1和下面框中条件：

请你和艾思轲同学一起尝试探究下列问题：
（1）①当点C与点F重合时，如图2所示，可得(AM)/(DM)的值为______；
②在平移过程中，(AM)/(DM)的值为

(x)/(2)

(x)/(2)

（用含x的代数式表示）；
（2）艾思轲同学将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．
当点A落在线段DF上时，如图3所示，请你帮他补全图形，并计算(AM)/(DM)的值；
（3）艾思轲同学又将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转m度，0＜m≤90，原题中的其他条件保持不变．请你计算(AM)/(DM)的值（用含x的代数式表示）．

Answer 1

（1）①如图2∵△DEF和△ABC是等腰直角三角形，
∴DE=FE，AB=BC，∠EDF=∠DFE=∠ACB=∠BAC=45°．∠DEF=∠ABC=90°．
∵∠BEM=45°，
∴∠BEM=∠ACB，∠DEM=45°
∴EM∥AC，∠DEM=∠FEM，
∴(PF)/(PD)＝(AM)/(DM)．
∵∠DEM=∠FEM，DE=FE，
∴DP=FP，
∴(FP)/(DP)＝1，
∴(AM)/(DM)＝1．
②如图1，在Rt△DEF中，由勾股定理，得
DF=2√(2)，
∵∠DEM=∠FEM，DE=FE，
∴DH=FH=EH=√(2)．
∵CE=x，
∴FC=2-x．
∵CG∥EM，
∴(CF)/(EF)＝(CG)/(EH)，(HG)/(HD)＝(AM)/(DM)．
∴(2−x)/(2)＝(CG)/(√(2))，
∴CG=√(2)-(√(2))/(2)x．
∵∠ACB=∠DFE，
∴CG=FG，
∴FG═√(2)-(√(2))/(2)x．
∴HG=√(2)-（√(2)-(√(2))/(2)x）=(√(2))/(2)x，
∴(HG)/(DH)＝((√(2))/(2)x)/(√(2))＝(x)/(2)，
∴(AM)/(DM)＝(x)/(2)．


（2）连结AE，补全图形如图3所示．
∵△ABC和△DEF是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠DEF=90°，AB=1，DE=2，
∴BC=1，EF=2，∠DFE=∠ACB=45°．
∴AC＝√(2)，DF＝2√(2)，∠EFB=90°．
∴AD＝DF−AC＝√(2)，
∴点A为DF的中点．
∴EA⊥DF，EA平分∠DEF．
∴∠MAE=90°，∠AEF=45°，AE＝√(2)．
∵∠MEB=∠AEF=45°，
∴∠MEA=∠BEF．
∴△MAE∽△BFE．
∴(AM)/(BF)＝(AE)/(EF)，
∴AM＝(√(2))/(2)．
∴DM＝AD−AM＝√(2)−(√(2))/(2)＝(√(2))/(2)，
∴(AM)/(DM)＝1．


（3）如图4，过点B作BE的垂线交直线EM于点G，连结AG．
∵∠EBG=90°，∠BEM=45°，
∴∠BGE=45°．
∴BE=BG．
∵∠ABC=∠EBG=90°，∴∠ABG=∠CBE．
∵BA=BC，∴△ABG≌△CBE．
∴AG=CE=x，∠AGB=∠CEB．
∵∠AGB+∠AGM=∠CEB+∠DEM=45°，
∴∠AGM=∠DEM，
∴AG∥DE．
∴(AM)/(DM)＝(AG)/(DE)＝(x)/(2)．
故答案为：1；(x)/(2)．