在体育课上，老师带领学生做了一个“捡豆子”的游戏，在长L=100m的直跑道上，距离起跑线L=12m处放有若干颗红豆，距离起跑线L=100m处放有若干颗绿豆，游戏规则是从起跑线跑到有红豆和绿

Question

在体育课上，老师带领学生做了一个“捡豆子”的游戏，在长L=100m的直跑道上，距离起跑线L=12m处放有若干颗红豆，距离起跑线L=100m处放有若干颗绿豆，游戏规则是从起跑线跑到有红豆和绿豆处，以速度为0捡起1颗豆子来，若谁用的时间最短，则获胜；已知某同学做匀加速运动和匀减速运动的加速度大小均为a=3m/s²，运动的最大速度不超过v=9m/s，求该同学捡起2种豆子所需要的最短时间t_min（结果保留到小数点后一位）．

Answer 1

由题意分析，该同学在运动过程中，平均速度越大时间最短．可能先加速，再减速．因为最大速度为9m/s，也可能先加速，再匀速最后减速．
设经过时间t₁捡到红豆，先设该同学先匀加速速再匀减速运动所需时间最小，根据由运动学公式：
加速段有位移：x_加=(1)/(2)at_加²，减速阶段因为速度减到0，故减速阶段的位移：
x_减=at_加t_减-(1)/(2)at_减²，因为加速和减速时间相同：t_加=t_减=(t1)/(2)，
加速度大小相等均为a，故总位移：x=x_加+x_减=(1)/(2)at_加²+(1)/(2)at_加²=(1)/(2)a（(t1)/(2)）²×2，
代入x=12m，a=3m/s²，可得同学所需最短时间：t₁=4s，
此过程中同学的最大速度：v_max=a(t1)/(2)=3×(4)/(2)=6m/s<9m/s，
所以该同学捡红豆的过程中，先加速再减速用时最短．
（2）令经过t₂捡起绿豆．同理有：(1)/(2)a（(t2)/(2)）²×2=100-12，
代入a解得：t₂=√((352)/(3))s≈10.832s，
加速最大速度：v₂=a(t2)/(2)=3×√((352)/(3))m/s>9m/s，
所以捡绿豆时，应先加速再匀速最后减速．设加速减速的总时间为t₃，
匀速的时间为t₄，因为加速的末速度为9m/s，
由速度公式可知：v=a(t3)/(2)，t₃=(2v)/(a)=(2×9)/(3)=9s，
匀加速和匀减速的总位移为：x=(1)/(2)a（(t2)/(2)）²×2=(1)/(2)×3×（

作业帮用户 2017-01-15