设X1，X2，…，Xn来自是参数为λ的泊松分布总体的一个样本，总体的分布律为：P（X=k）=λke−λk!，k=0，1，…，试求λ的极大似然估计量．

Question

设X₁，X₂，…，X_n来自是参数为λ的泊松分布总体的一个样本，总体的分布律为：P（X=k）=(λke−λ)/(k!)，k=0，1，…，试求λ的极大似然估计量．

Answer 1

∵X服从参数为λ的泊松分布，即P(X＝k)＝(λk)/(k!)e−λ，（k=0，1，2，…）
则最大似然函数为
L（x₁，x₂，…，x_n；λ）=

n

π

i＝1

(λxi)/(xi!)e−λ=e−nλ

n

π

i＝1

(λxi)/(xi!)
∴lnL＝−nλ+

n

i＝1

(xilnλ−lnxi)
∴(dlnL)/(dλ)＝−n+

n

i＝1

(xi)/(λ)
令(dlnL)/(dλ)＝0
解得λ＝(1)/(n)

n

i＝1

xi＝

.

x

即λ的最大似然估计量

∧

λ

＝

.

x