（2014•怀化）如图，E是长方形ABCD的边AB上的点，EF⊥DE交BC于点F（1）求证：△ADE∽△BEF；（2）设H是ED上一点，以EH为直径作⊙O，DF与⊙O相切于点G，若DH=OH=3，求图中阴影部分的面积（结果保

Question

（2014•怀化）如图，E是长方形ABCD的边AB上的点，EF⊥DE交BC于点F
（1）求证：△ADE∽△BEF；
（2）设H是ED上一点，以EH为直径作⊙O，DF与⊙O相切于点G，若DH=OH=3，求图中阴影部分的面积（结果保留到小数点后面第一位，√(3)≈1.73，π≈3.14）．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°．
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°．
∴∠AED=90°-∠BEF=∠EFB．
∵∠A=∠B，∠AED=∠EFB，
∴△ADE∽△BEF．

（2）∵DF与⊙O相切于点G，
∴OG⊥DG．
∴∠DGO=90°．
∵DH=OH=OG，
∴sin∠ODG=(OG)/(OD)=(1)/(2)．
∴∠ODG=30°．
∴∠GOE=120°．
∴S_扇形OEG=(120π×32)/(360)=3π．
在Rt△DGO中，
cos∠ODG=(DG)/(DO)=(DG)/(6)=(√(3))/(2)．
∴DG=3√(3)．
在Rt△DEF中，
tan∠EDF=(EF)/(DE)=(EF)/(9)=(√(3))/(3)．
∴EF=3√(3)．
∴S_△DEF=(1)/(2)DE•EF=(1)/(2)×9×3√(3)=(27√(3))/(2)，
S_△DGO=(1)/(2)DG•GO=(1)/(2)×3√(3)×3=(9√(3))/(2)．
∴S_阴影=S_△DEF-S_△DGO-S_扇形OEG
=(27√(3))/(2)-(9√(3))/(2)-3π
=.9√(3)-3π
≈9×1.73-3×3.14
=6.15
≈6.2
∴图中阴影部分的面积约为6.2．