将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为甚?

Question

将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为甚?

Answer 1

这道题主要靠空间想象能力.绘图太麻烦,也没有必要.
四个小球放在正四面体中,每个角内一个,且小球在角内与汇于此角的三个面相切,4个小球同时在中部互相相切.
现在把四个小球的圆心连起来,得到一个小的正四面体,这个小正四面体的各个表面与原来的正四面体的对应表面平行,且其距离都是小球的半径,即为1.
因为小球彼此相切,所以小正四面体的棱长是小球半径的两倍,即为2,所以容易算出这个小正四面体的高为2√6/3.
至于求原来的正四面体高的方法有好几种,下面介绍一种不用画图的.
利用这一性质：一个正四面体的中心到任意一个面的距离为该正四面体的高的1/4,这是因为把中心和一个面上的三个角点连接起来,得到一个三棱锥,三棱锥的体积正四面体的体积的1/4.
再回到本题,小正四面体和原来正四面体的中心是重合的,中心到小四面体各面的距离为(1/4)*(2√6/3),那么中心到原来正四面体各面的距离应为1+(1/4)*(2√6/3),所以原正四面体的高为
4*[1+(1/4)*(2√6/3)]=4+(2√6/3)