已知无穷等差数列{an}，首项a1=3，公差d=-5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}（1）求b1和b2；（2）求{bn}的通项公式；（3）{bn}中的第110项是{an}中的第几项？

Question

已知无穷等差数列{a_n}，首项a₁=3，公差d=-5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b_n}
（1）求b₁和b₂；
（2）求{b_n}的通项公式；
（3）{b_n}中的第110项是{a_n}中的第几项？

Answer 1

（1）由题意，等差数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d=8-5n，
令取出项为m，则需满足m=4n+3
∴b₁=a₃=8-5×3=-7，
b₂=a₇=8-5×7=-27．
（2）∵取出的序号成等差数列，
∴所对应的项组成的新数列{b_n}也为等差数列，且首项为d₁=-7，公差为d′=-20，
∴b_n=b₁+（n-1）d′
=-7+（n-1）×（-20）=13-20n．
（3）∵m=4n+3，
∴当n=110时，
m=4×110+3=443项，
∴{b_n}中的第110项是{a_n}中的第443项．