如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b

Question

如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）．

Answer 1

解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，
则y=(k)/(ab)，其中k＞0为比例系数．依题意，即所求的a，b值使y值最小．
根据题设，有4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），
得b=(30−a)/(2+a)（0＜a＜30）．①
于是y=(k)/(ab)
=(k)/((30a−a2)/(2+a))=(k)/(−a+32−(64)/(a+2))=(k)/(34−(a+2+(64)/(a+2)))
≥(k)/(34−2√((a+2)•(64)/(a+2)))=(k)/(18)，
当a+2=(64)/(a+2)时取等号，y达到最小值．
这时a=6，a=-10（舍去）．
将a=6代入①式得b=3．
故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大．
由题设知4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），
即a+2b+ab=30（a＞0，b＞0）．
因为a+2b≥2√(2ab)，
所以2√(2)√(ab)+ab≤30，
当且仅当a=2b时，上式取等号．
由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18．
即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18．
所以2b²=18．解得b=3，a=6．
故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．