设总体X服从区间（0，θ）上的均匀分布，其中θ＞0为未知参数．（X1，X2，…，Xn）是从该总体中抽取的一个样本．（1）求未知参数θ的极大似然估计θ；（2）求θ的概率密度函数；（3）判断

Question

设总体X服从区间（0，θ）上的均匀分布，其中θ＞0为未知参数．（X₁，X₂，…，X_n）是从该总体中抽取的一个样本．
（1）求未知参数θ的极大似然估计

θ

；
（2）求

θ

的概率密度函数；
（3）判断

θ

是否为未知参数θ的无偏估计．

Answer 1

（1）记x_（1）=min（x₁，x₂，…，x_n），x_（2）=max（x₁，x₂，…，x_n）
由题意知，总体X的概率函数为 f(x)＝

(1)/(θ)	，0≤x≤θ
0	，其它

 
由于0≤x₁，x₂，…，x₂≤θ，等价于0≤x_（1）≤x_（2）≤θ．
则似然函数为
L(θ)＝

n

π

i＝1

f(xi)＝(1)/(θn)，0≤x_（1）≤x_（2）≤θ．
于是对于满足条件x_（2）≤θ的任意θ有
L(θ)＝(1)/(θn)≤(1)/(xn(2))
即L（θ）在θ=x_（2）时取到最大值(1)/(xn(2))，故θ的最大似然估计值为

θ

＝x(2)＝

max

1≤i≤n

(xi)
∴θ最大似然估计量为 

θ

＝x(2)＝

max

1≤i≤n

(xi)
（2）X的密度函数为f(x)＝

(1)/(θ)	，0≤x≤θ
0	，其它

 

则分布函数为F(x)＝

0	，x≤θ
(x)/(θ)	，0＜x＜θ
1	，x≥θ

因此

θ

＝x(2)＝

max

1≤i≤n

(xi)概率密度函数为
f

θ

(x)＝n[F(x)]n−1f(x)=

(nxn−1)/(θ)	，0＜x＜θ
0	，其它

（3）由于E(

θ

)＝

∫

+∞ −∞

xf

θ

(x)dx=

∫

θ 0

(nxn)/(θ)dx＝(n)/(n+1)θ≠0
故

θ

不是θ的无偏估计．